نرخ ناسازگاری AHP و ANP (قطعی و فازی) | آموزش، مثال و اکسل

مقدمه

در بسیاری از مسائل مدیریتی، مهندسی و برنامه‌ریزی، تصمیم‌گیرندگان ناچارند میان چند گزینه و معیار مختلف انتخاب کنند. روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره، ابزارهایی قدرتمند برای ساختاردهی و تحلیل چنین مسائل پیچیده‌ای هستند. فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی (AHP)، که نخستین بار توسط توماس ساعتی (1980) ارائه شد، یکی از شناخته‌شده‌ترین و پرکاربردترین این روش‌هاست. AHP با شکستن مسئله به سطوح مختلف و انجام مقایسات زوجی میان معیارها و گزینه‌ها، به تصمیم‌گیرنده کمک می‌کند تا ارجحیت‌ها را به‌صورت کمی بیان کند.

در ادامهٔ توسعه این رویکرد، فرایند تحلیل شبکه‌ای (ANP) معرفی شد که نسخه تکامل‌یافته‌تری از AHP است. در حالی که ساختار AHP مبتنی بر یک سلسله‌مراتب خطی از بالا به پایین است، روش ANP امکان مدل‌سازی وابستگی‌ها و بازخورهای درونی میان معیارها را نیز فراهم می‌سازد؛ موضوعی که بسیاری از مسائل واقعی به آن نیاز دارند. همچنین پیاده‌سازی این دو روش در محیط فازی موجب کاهش ابهام‌ها و نارسایی‌های ناشی از قضاوت‌های انسانی در بیان ترجیحات می‌شود. در شکل زیر تفاوت روش AHP و ANP آورده شده است.

یکی از مراحل اساسی در هر دو روش AHP و ANP، تشکیل ماتریس مقایسه زوجی و تکمیل آن توسط خبرگان است. اما اینکه این مقایسات تا چه حد قابل اعتماد هستند، با شاخصی به نام نرخ ناسازگاری (inonsistency Rate) سنجیده می‌شود. نرخ ناسازگاری نشان می‌دهد آیا قضاوت‌های انجام‌شده منطقی، هماهنگ و قابل اتکا بوده‌اند یا خیر.

مراحل محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP و ANP

یکی از مهم‌ترین گام‌ها در مدل‌های فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی (AHP) و فرایند تحلیل شبکه‌ای (ANP)، بررسی میزان سازگاری قضاوت‌های انجام‌شده در ماتریس‌های مقایسه زوجی است.

به بیان ساده، اگر قضاوت‌های تصمیم‌گیرنده منطقی و هماهنگ باشند، نتایج نهایی نیز قابل اعتماد خواهند بود. اما اگر در مقایسات تضاد منطقی وجود داشته باشد، خروجی مدل زیر سؤال می‌رود.

برای درک مفهوم سازگاری، فرض کنید سه خودرو را مقایسه می‌کنیم:

• اگر سمند دو برابر پژو اهمیت داشته باشد،
• و پژو چهار برابر پراید اهمیت داشته باشد،

در این صورت منطقی است که سمند هشت برابر پراید اهمیت داشته باشد.

این ویژگی را خاصیت تعدی (Transitivity) می‌نامند. در صورتی که این رابطه برقرار نباشد، مقایسات ما ناسازگار هستند.

تعریف سازگاری در ماتریس مقایسه زوجی

فرض کنید ماتریس مقایسات زوجی A به صورت A=[a_ij] می باشد. که در آن:

• a_ij ​ اهمیت عنصر i  نسبت به j  را نشان می‌دهد.
• ماتریس مثبت و معکوس است، یعنی: a_ij=1/a_ji ​

شرط سازگاری کامل

اگر برای تمام درایه‌ها داشته باشیم: a_ij=w_i/w_j ​​

که در آن w_i​ و w_j ​ وزن معیارها هستند، آنگاه ماتریس کاملاً سازگار است.

در این حالت خاصیت تعدی نیز برقرار است: a_ij×a_jk=a_ik ​

ماتریس سازگار را با A_c​ نشان می‌دهیم.

ارتباط سازگاری با مقادیر ویژه

در AHP، وزن‌ها از طریق حل رابطه مقدار ویژه به‌دست می‌آیند: A×W=λ×W

که در آن:

• W  بردار ویژه (وزن‌ها)
• λ  مقدار ویژه ماتریس
• λmax ​ بزرگ‌ترین مقدار ویژه ماتریس

حالت سازگاری کامل

اگر ماتریس کاملاً سازگار باشد: λmax=n 

و رابطه زیر برقرار است: A×W=n×W

در این حالت:

• وزن‌ها دقیقاً برابر نرمال‌سازی ستون‌ها هستند.
• شاخص ناسازگاری برابر صفر است.
• هیچ تناقضی در قضاوت‌ها وجود ندارد.

شاخص ناسازگاری (consistency Index)

از آنجا که در عمل تقریباً هیچ ماتریسی کاملاً سازگار نیست، باید میزان فاصله از حالت ایده‌آل را اندازه‌گیری کنیم. اختلاف بین λmax ​ و n معیار اولیه ناسازگاری است:

اما چون این مقدار به اندازه ماتریس وابسته است، آن را نرمال می‌کنیم و شاخص ناسازگاری (CI) را تعریف می‌کنیم:

CI=(λmax−n)/(n-1) 

تفسیر:

• اگر ماتریس کاملاً سازگار باشد:$CI=0$
• هرچه ناسازگاری بیشتر شود  λmax ​ بزرگ‌تر شده و CI افزایش می‌یابد.

شاخص ناسازگاری تصادفی (RI)

برای اینکه بدانیم مقدار CI بزرگ است یا قابل قبول، باید آن را با یک معیار مقایسه کنیم.

ساعتی با تولید تعداد زیادی ماتریس تصادفی (با حفظ خاصیت معکوس بودن)، میانگین شاخص ناسازگاری آن‌ها را محاسبه کرد که به آن شاخص ناسازگاری تصادفی (Random Index = RI) می‌گویند.

مقادیر RI به اندازه ماتریس بستگی دارد:

نرخ ناسازگاری

نرخ ناسازگاری از رابطه زیر بدست می آید که در واقع تقسیم شاخص ناسازگاری به ناسازگاری تصادفی است. اگر این نرخ از 0.1 کمتر باشد نشان دهنده سازگار بودن و اگر از 0.1 بیشتر باشد نشان دهنده ناسازگاری است.

مثال حل شده محاسبه نرخ ناسازگاری

در یک مثال میخواهیم مقایسه زوجی بین 4 خودرو را تشکیل دهیم و نرخ ناسازگاری را محاسبه کنیم که بر این اساس ابتدا باید وزن را محاسبه کرد. برای محاسبه وزن کافیست که مجموع ستونی ماتریس را محاسبه کرد سپس هر عدد را تقسیم را مجموع ستونش کرد، در انتها از اعداد بدست آمده میانگین سطری گرفت که وزن بدست آید.

هر عدد ماتریس خبره یک را بر مجموع ستون تقسیم می­کنیم.

وزن­ معیارها به صورت زیر محاسبه می­شود. به بیان دیگر وزن برابر با میانگین حسابی درایه های هر سطر ماتریس بالا می باشد.

سپس ماتریس اولیه تصمیم را در وزن معیارها به صورت ماتریسی ضرب میکنیم:

برای محاسبه مقادیر لاندا نتایج ضرب بالا را در وزن متناظرش تقسیم می­کنیم.

سپس میانگین بین لانداها را محاسبه میکنیم که λmax حاصل شود.

شاخص ناسازگاری از رابطه زیر بدست می ­آید:

شاخص ناسازگاری تصادفی نیز از جدول مربوطه بدست می­آید، چون تعداد متغیرهای این مساله 4 می ­باشد شاخص ناسازگاری تصادفی (I.R) برابر 0.9 می ­باشد. در نهایت نرخ ناسازگاری این ماتریس تصمیم از رابطه زیر محاسبه می­ شود:

چون نرخ ناسازگاری این ماتریس تصمیم از 0.1 کمتر است پس این مقایسه زوجی مورد قبول می ­باشد.

نرخ ناسازگاری فازی در AHP و ANP فازی

در مدل‌های قطعی، محاسبه نرخ ناسازگاری با استفاده از نرم‌افزارهای Expert Choice و Super Decisions به‌راحتی انجام می‌شود. اما زمانی که مدل تصمیم‌گیری وارد محیط فازی می‌شود، روش‌های کلاسیک برای سنجش ناسازگاری قابل استفاده مستقیم نیستند؛ زیرا مقادیر موجود در ماتریس مقایسات زوجی به صورت اعداد فازی (معمولاً مثلثی) بیان می‌شوند و دیگر نمی‌توان از فرمول‌های قطعی به شکل مستقیم استفاده کرد.

برای رفع این چالش، گوگوس و بوچر (Gogus & Boucher, 1998) روشی را پیشنهاد کردند که امروزه یکی از معتبرترین رویکردها در محاسبه ناسازگاری در AHP فازی و ANP فازی محسوب می‌شود.

روش گوگوس و بوچر (1998)

در این روش، برای بررسی سازگاری ماتریس‌های مقایسات زوجی فازی، ابتدا از هر ماتریس فازی، دو ماتریس قطعی استخراج می‌شود:

1. ماتریس عدد میانی

   شامل مقادیر میانی هر عدد فازی مثلثی است.

2. ماتریس حدود عدد فازی

   شامل میانگین هندسی مقادیر حد پایین و حد بالای هر عدد فازی می‌شود.

پس از تشکیل این دو ماتریس قطعی، سازگاری آن‌ها به روش کلاسیک ساعتی (AHP قطعی) محاسبه می‌گردد. اگر هر دو ماتریس از نظر نرخ ناسازگاری قابل قبول باشند، آنگاه می‌توان گفت: ماتریس مقایسات زوجی فازی نیز سازگار است.

اهمیت نرخ ناسازگاری فازی

نرخ ناسازگاری (CR) یکی از مهم‌ترین معیارها در مقایسات زوجی است؛ زیرا نشان می‌دهد:

• قضاوت‌های کارشناسان قابل اعتماد است یا خیر؟
• روابط بین معیارها منطقی و سازگارند؟
• وزن‌های استخراج‌شده از اعتبار کافی برخوردارند؟

در محیط فازی نیز، همانند مدل‌های قطعی، مقدار نرخ ناسازگاری باید کمتر از 0.1 باشد تا مقایسات قابل اعتماد تلقی شوند.

فیلم آموزش روش محاسبه نرخ ناسازگاری (قطعی و فازی) در اکسل

برای درک بهتر نحوه محاسبه نرخ ناسازگاری در روش‌های AHP و ANP، دو ویدئوی آموزشی اختصاصی تهیه شده است که در آن‌ها تمامی مراحل به‌صورت کامل، عملی و گام‌به‌گام در محیط اکسل توضیح داده شده‌اند. این ویدئوها به‌صورت کاملاً کاربردی طراحی شده‌اند تا هر پژوهشگر یا دانشجو بتواند بدون استفاده از نرم‌افزارهای جانبی، نرخ ناسازگاری را خودش محاسبه و تحلیل کند.

فیلم آموزش محاسبه نرخ ناسازگاری در حالت قطعی (AHP/ANP)

در این ویدئو:

• مفهوم سازگاری و ناسازگاری تشریح می‌شود
• ماتریس مقایسات زوجی قطعی تشکیل می‌گردد
• وزن‌ها با روش ویژه‌برداری در اکسل محاسبه می‌شود
• مقدار λ_max​، شاخص ناسازگاری (CI) و نرخ ناسازگاری (CR) استخراج می‌شود
• معیار پذیرش و نحوه تحلیل نتایج توضیح داده می‌شود

این فیلم برای افرادی مناسب است که با روش قطعی ساعتی کار می‌کنند و می‌خواهند بدون نیاز به نرم‌افزارهای Expert Choice یا Super Decisions، محاسبات را کاملاً دستی در اکسل انجام دهند.

فیلم آموزش محاسبه نرخ ناسازگاری فازی با روش گوگوس و بوچر (AHP/ANP فازی)

در این ویدئو، صفر تا صد محاسبه ناسازگاری فازی آموزش داده شده است:

• معرفی مشکل ناسازگاری در محیط فازی
• تشریح کامل روش گوگوس و بوچر (1998)
• استخراج ماتریس عدد میانی و ماتریس حدود عدد فازی
• محاسبه سازگاری هر دو ماتریس با روش قطعی
• تحلیل نهایی سازگاری فازی
• حل یک مثال کامل و جامع در اکسل

این آموزش برای کسانی ایده‌آل است که از AHP فازی یا ANP فازی استفاده می‌کنند و می‌خواهند محاسبه نرخ ناسازگاری فازی را به‌صورت دقیق و اصولی یاد بگیرند.

معرفی آموزش های تکمیلی

تکنیک های AHP فازی

1. روش AHP فازی بهبود یافته (برای محاسبه وزن این روش پیشهاد می شود)
2. تکنیک AHP فازی چانگ
3. مدل AHP فازی میخایلوف
4. روش LFPP ( ترجیحات فازی لگاریتمی)

تکنیک های ANP فازی

برای محاسبه وزن در مدل های ANP فازی ابتدا باید مقایسات زوجی تشکیل شود (همانند AHP فازی) سپس وزن های ماتریس ها محاسبه شود (از طریق همان روشهای AHP فازی) در ادامه سوپرماتریس ها تشکیل شود تا وزن ها در یک سوپرماتریس قرار بگیرند و به توان برسند و همگرا شوند. آموزش این حالت در صفحه روش ANP فازی آورده شده است.