همه چیز درباره اعداد فازی Z (Z‑Numbers)| روش‌های تصمیم‌گیری چند معیاره

مقدمه

در سال 2011، دکتر لطفی زاده مفهوم اعداد Z را در کنفرانس IEEE IRI و همچنین در مقاله ای تحت عنوان “نکته ای در مورد اعداد Z” به معرفی این مفهوم پرداخت. او این مفهوم را به عنوان یک گام جدید در محاسبات عدم قطعیت ارائه نمود. اعداد Z شامل دو جزء هستند: یک جزء محدودیت بر روی مقادیر ممکن یک متغیر عددی غیرقطعی، و یک جزء میزان اطمینان یا قطعیت در مورد آن محدودیت. هدف از معرفی اعداد Z، ارائه روشی برای مدلسازی اطلاعات غیرقطعی در زندگی روزمره بود که معمولا به صورت کلامی و با استفاده از عبارات زبان طبیعی بیان می شود. زاده نشان داد که چگونه می توان با این اعداد Z محاسبات انجام داد.

معرفی دکتر لطفی زاده پدر علم فازی

دکتر لطفی زاده پدر علم فازی در سال 1959 به دانشکده مهندسی برق دانشگاه کالیفرنیا، برکلی پیوست و از سال 1963 تا 1968 ریاست این دانشکده را بر عهده داشت. قبل از آن، او عضو هیئت علمی مهندسی برق در دانشگاه کلمبیا بود. در سال 1956، او عضو میهمان موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون، نیوجرسی بود. علاوه بر این، او سمت‌های دیگری را نیز داشته است، از جمله استادیار مهندسی برق در دانشگاه MIT در سال‌های 1962 و 1968؛ دانشمند در آزمایشگاه تحقیقاتی IBM در سانخوزه، کالیفرنیا، در سال‌های 1968، 1973 و 1977؛ و دانشمند  در مرکز هوش مصنوعی SRI بین‌المللی در سال 1981، و در مرکز مطالعات زبان و اطلاعات دانشگاه استنفورد، در سال‌های 1987-1988. در حال حاضر (تا سال 2011) او استاد در مدرسه تحصیلات تکمیلی است و به عنوان مدیر ابتکار برکلی در محاسبات نرم (BISC) فعالیت می‌کند.

دکتر زاده دارای بیست و پنج دکترای افتخاری و بیش از دویست مقاله تک نویسنده داشته و در هیئت تحریریه بیش از پنجاه مجله حضور دارد. او عضو کمیته مشورتی مرکز آموزش و تحقیقات در سیستم‌های فازی و هوش مصنوعی در ایاسی، رومانی؛ هیئت مشاور ارشد موسسه بین‌المللی مطالعات سیستم‌های عمومی؛ هیئت امنای انجمن بین‌المللی شبکه‌های عصبی؛ و رئیس افتخاری انجمن سیستم‌های فازی پزشکی ژاپن و انجمن منطق فازی و فناوری‌های اسپانیا است. علاوه بر این، او عضو هیئت مشاور موسسه ملی اطلاع‌رسانی در توکیو؛ عضو هیئت امنای موسسه سیستم‌های دانش در اسکوکی، ایلینوی؛ و عضو افتخاری شورای آکادمیک NAISO-IAAC است.

روند تکاملی گسترش مجموعه های فازی

شکل بالا روند تکاملی گسترش مجموعه های فازی را از سال 1965 تا 2011 نشان می دهد. این شکل چگونگی ظهور مجموعه های فازی گسترده شده از قبیل مجموعه های فازی نوع 2، مجموعه های فازی شهودی، مجموعه های فازی مردد و در نهایت اعداد Z را نشان می دهد. به طور خلاصه:

1965 – زاده مفهوم مجموعه های فازی نوع 1 را معرفی کرد که درجه عضویت آن بین صفر تا یک است.

1975 – مفهوم مجموعه های فازی نوع 2 ارائه شد که در آن تابع عضویت با یک مجموعه فازی نوع 1 توصیف می شود.

1986 – آتاناسوف مفهوم مجموعه های فازی شهودی را معرفی کرد که شامل درجه عضویت و عدم عضویت است.

2010 – تورا مفهوم مجموعه های فازی مردد را ارائه کرد که در آن یک عنصر می تواند بیش از یک درجه عضویت داشته باشد. 

2010- وانگ و همکاران مفهوم مجموعه های فازی نوترسوفیک با ارزش تک (single-valued neutrosophic sets) را گسترش دادند. در مجموعه های فازی نوترسوفیک با ارزش تک، هر عنصر دارای سه درجه عضویت مستقل است:

1) درجه عضویت حقیقت (truth-membership) که میزان تعلق عنصر به مجموعه را نشان می دهد.

2) درجه عضویت کذب (falsity-membership) که میزان عدم تعلق عنصر به مجموعه را نشان می دهد.

3) درجه عضویت بلاتکلیفی (indeterminacy-membership) که میزان بی اطلاعی در مورد تعلق یا عدم تعلق عنصر به مجموعه را نشان می دهد.

این سه درجه عضویت مستقل از یکدیگر هستند، برخلاف مجموعه های فازی شهودی که در آنها درجات عضویت و عدم عضویت به هم وابسته اند.

2011 – زاده اعداد Z را برای توصیف اطلاعات ناقص معرفی کرد که شامل بخش محدودیت و بخش اطمینان است.

این شکل نشان می دهد که اعداد Z آخرین گسترش مفهوم مجموعه های فازی برای توصیف اطلاعات ناقص و ناسازگار است.

مفهوم اعداد Z

تصمیم گیری ها بر اساس اطلاعات صورت می گیرند. برای مفید بودن، اطلاعات باید قابل اعتماد باشند. در اصل، مفهوم یک عدد Z به موضوع قابلیت اعتماد اطلاعات مربوط می شود. یک عدد Z، دارای دو جزء است، Z= (A,B). جزء اول A، یک محدودیت (قید عمومی) بر روی مقادیری است که یک متغیر عددی و غیرقطعی می تواند بپذیرد. منظور از جزو A در واقع همان طیف فازی است که برای اهمیت هر متغیر استفاده می شود. جزء دوم B، معیاری از قابلیت اعتماد (قطعیت) جزء اول است. به عنوان مثال فرض کنید قصد رفتن به سر کار را داشته باشید کسی از شما بپرسد چه مدت دیگر به سر کار خواهید رسید؟ و با چه قطعیتی؟ مثال: (حدود 45 دقیقه، بسیار مطمئن).

یک ارزش گذاری Z یک ترتیب سه تایی از فرم (X،A،B) است که معادل اختصاص یک عدد Z مانند (A,B) به X است، به صورت X برابر است با (A,B). در واقع مجموعه A، مجموع ارزش گذاری هایی است که اطلاعات عدد Z نامیده می شود. آنچه مهم است این می باشد که بخش زیادی از اطلاعات غیرقطعی در زندگی روزمره قابل ارائه به صورت اطلاعات Z است. به عنوان مثال: معمولاً رضا حدود ساعت 5 بعدازظهر از دفتر خارج می شود. معمولاً برای رضا حدود یک ساعت طول می کشد تا از محل کار به خانه برسد. رضا چه زمانی به خانه می رسد؟ این اطلاعات و سوال می تواند به صورت زیر ارائه شود: (زمان خروج، حدود 5 بعدازظهر، معمولاً) و (زمان مسافرت، حدود 1 ساعت، معمولاً)؛ (زمان رسیدن به خانه، ?A، ?B). محاسبات با اعداد Z یک تعمیم حیاتی از محاسبات با اعداد حقیقی است. به ویژه، عمومیت اعداد Z درِ ساخت مدل های بهتری در دنیای واقعی می‌باشد.

تعریف ریاضی اعداد فازی Z (Z‑Numbers)

اعداد فازی Z (Z‑Numbers) توسط لطفی زاده برای مدل‌سازی اطلاعاتی معرفی شدند که علاوه بر عدم قطعیت، دارای میزان مشخصی از قابلیت اعتماد نیز هستند. یک عدد فازی Z به صورت یک زوج مرتب تعریف می‌شود:

Z = (A , B)

در این تعریف، جزء A یک عدد فازی است که به عنوان محدودیت (Restriction) بر روی مقدار یک متغیر تصادفی عمل می‌کند و نشان می‌دهد مقدار متغیر تقریباً در چه بازه‌ای قرار دارد. جزء دوم یعنی B یک عدد فازی در بازه [0,1] است که میزان قابلیت اعتماد یا اطمینان (Reliability) به محدودیت A را بیان می‌کند.

به بیان ساده، در اعداد فازی Z (Z‑Numbers) علاوه بر اینکه مقدار یک متغیر به صورت فازی بیان می‌شود، میزان اطمینان به آن مقدار نیز در مدل لحاظ می‌گردد. این ویژگی باعث می‌شود اطلاعاتی که در دنیای واقعی معمولاً به صورت زبانی بیان می‌شوند، به شکل دقیق‌تری مدل‌سازی شوند.

برای مثال اگر گفته شود «زمان رسیدن حدود 45 دقیقه با اطمینان زیاد است»، این ارزیابی می‌تواند به صورت یک عدد فازی Z نمایش داده شود که در آن بخش A نشان‌دهنده مقدار تقریبی زمان (مثلاً یک عدد فازی مثلثی) و بخش B نشان‌دهنده میزان اطمینان به این ارزیابی است.

اعداد فازی Z

برای توصیف اعداد فازی Z یا Z number از اصطلاح “تابع محدودیت ذوزنقه ای” (trapezoidal restriction function) استفاده شده است. اما در بیشتر مقالات و پژوهش ها، تنها اعداد فازی مثلثی برای تابع محدودیت و تابع اعتبار آورده شده است. دلیل استفاده از اصطلاح “تابع محدودیت ذوزنقه ای” این است که در تئوری اعداد فازی Z، تابع محدودیت می تواند به صورت یک عدد فازی ذوزنقه ای تعریف شود. اما به دلیل گستردگی بیشتر از اعداد فازی مثلثی برای تابع محدودیت استفاده شده است. زیرا اعداد فازی مثلثی یک حالت خاص از اعداد ذوزنقه ای است. در شکل زیر تابع سمت چپ در واقع تابع ذوزنقه ای برای محدودیت می باشد که می تواند به صورت مثلثی نیز استفاده شود. شکل سمت راست نیز تابع اعتبار یا قطعیت می باشد.

نقاط قوت، ضعف، فرصت و تهدید اعداد Z

در ادامه بر اساس مقاله Alam & et.al (2023) نقاط قوت، ضعف و فرصت و تهدید اعداد Z به شرط زیر آورده شده است.

 نقاط قوت:

• توانایی توصیف اطلاعات ناقص: اعداد Z می‌توانند اطلاعات ناقصی را که تا حدی قابل اعتماد هستند، توصیف کنند.
• مدل‌سازی واقعی: اعداد Z می‌توانند عباراتی را که نزدیک به زبان طبیعی هستند و سیستم‌های دنیای واقعی را به طور واقعی مدل‌سازی می‌کنند، توصیف کنند.
• تعمیم اعداد: اعداد Z تعمیمی از اعداد حقیقی، بازه‌ای، تصادفی و فازی هستند.
• قابلیت نشان دادن عدم قطعیت: اعداد Z می‌توانند عدم قطعیت دنیای واقعی و همچنین عدم اطمینان زبان‌های انسانی را نشان دهند.

نقاط ضعف:

• پیچیدگی محاسباتی: اگر اعداد Z به درستی تعریف نشوند، پیچیدگی محاسباتی آنها می‌تواند به ضرر آنها باشد.
• منابع محدود: مطالعات محدودی در مورد اعداد Z انجام شده است که منجر به تعداد محدودی منابع برای مراجع محققان شده است.

فرصت‌ها:

• نرم‌افزار Z-Numbers: ابداع نرم‌افزاری برای پردازش اطلاعات تصمیم‌گیری در اعداد Z می‌تواند محاسبات را ساده کند.
• کاربرد در روش‌های MCDM: پیاده‌سازی اعداد Z در روش‌های MCDM دانش مربوط به اعداد Z را گسترش می‌دهد.

تهدیدات:

• پیچیدگی روش‌های MCDM: استفاده از اعداد Z در روش‌های MCDM می‌تواند این روش‌ها را بسیار طولانی و خسته‌کننده کند.

تحقیقات صورت گرفته حیطه Z-numbers

شکل بالا دو نمودار را نشان می دهد:

نمودار (a) تعداد انتشارات مرتبط با اعداد Z را از پایگاه داده اسکوپوس در بازه زمانی 2011 تا 2022 نشان می دهد. این نمودار روند رو به رشدی را در تعداد انتشارات در این زمینه نشان می دهد. از سال 2011 که اعداد Z معرفی شدند، تعداد انتشارات آهسته اما پیوسته افزایش یافته است. اما از سال 2017 به بعد، یک افزایش چشمگیر در تعداد انتشارات مشاهده می شود که نشان دهنده توجه فزاینده محققان به این موضوع است.

نمودار (b) 10 کلیدواژه پرکاربرد مرتبط با اعداد Z را بر اساس جستجو در پایگاه داده اسکوپوس نشان می دهد. این کلیدواژه ها می توانند ایده ای از زمینه های اصلی کاربرد اعداد Z را ارائه دهند. کلیدواژه “تصمیم گیری” با فراوانی 42.1 درصد بیشترین سهم را در میان 10 کلیدواژه برتر دارد. این نشان می دهد که یکی از مهمترین کاربردهای اعداد Z در حوزه تصمیم گیری است. سایر کلیدواژه های پربسامد شامل “سیستم فازی”، “کنترل فازی”، “مجموعه های فازی نوتروسوفیک”، “مدل سازی شده” و غیره هستند که کاربردهای دیگر اعداد Z را در زمینه های مختلف نشان می دهند.

این شکل در مجموع حاکی از رشد و توسعه چشمگیر پژوهش در زمینه اعداد Z در سالهای اخیر است و اهمیت حوزه تصمیم گیری را به عنوان یکی از کاربردهای اصلی آن برجسته می کند که توجیه کننده انجام این مطالعه مروری در خصوص کاربرد اعداد Z در تصمیم گیری است.

روش Z-Fuzzy AHP

روش AHP یکی از پرکاربردترین روش های تصمیم گیری چند معیاره برای محاسبه وزن معیارها است. به دلیل ماهیت پرسشنامه ای بودن روش و استفاده از نظرات خبره ها، معمولاً افراد خبره هنگام مقایسه زوجی دچار تردید می شوند و در این مواقع انتظار می رود که از ارزیابی های خود اطمینان کامل نداشته باشند. این مفهوم را می‌توان تحت عنوان اعداد Z-فازی در روش‌های تصمیم‌گیری گنجاند. بنابراین، در این بخش، برای به دست آوردن وزن معیارها، پیشنهاد می‌شود که قضاوت خبره ها با استفاده از روش AHP فازی باعداد Z به جای نسخه‌های فازی متداول روش AHP استفاده شود. برای محاسبه وزن معیارها، مراحل روش Z-Fuzzy AHP فازی به شرح زیر ارائه شده است:

مراحل روش فازی z ahp

مرحله 1. مجموعه معیارهای مسئله تصمیم را تعیین کنید. شکل زیر یک ساختار سلسله مراتبی شامل هدف، معیارهای اصلی و زیرمعیارها می باشد.

مرحله 2. اصطلاحات زبانی و اعداد فازی Z محدودیت و قابلیت اطمینان تعیین کنید. با استفاده از پرسشنامه، ارزیابی های مقایسه زوجی زبانی را از هر تصمیم گیرنده (خبره) برای معیارهای اصلی و زیرمعیارها جمع آوری کنید. سپس، ماتریس های مقایسه زوجی فازی Z بر اساس این ارزیابی ها ساخته می شوند. هر تصمیم گیرنده می‌تواند از مقیاس‌های زبانی فازی Z ارائه‌شده در جدول زیر برای ارزیابی‌های خود استفاده کند.

مرحله 3. نسبت سازگاری (CR) هر ماتریس مقایسه زوجی فازی Z را که توسط ارزیابی‌های تصمیم گیرنده ها بدست می‌آید، محاسبه کنید. توابع محدودیت اعداد Z-فازی در ماتریس مقایسه زوجی ابتدا باید غیرفازی شوند سپس روش محاسبه نرخ ناسازگاری کلاسیک ساعتی اعمال شود که این نرخ همواره باید از کمتر 0.1 باشد.

مرحله 4. ارزیابی های فازی z از نظر تصمیم گیرنده ها توسط تکنیک میانگین هندسی ادغام می شوند. هر عنصر از توابع محدودیت و قابلیت اطمینان ارزیابی‌های فازی Z با استفاده از میانگین هندسی تجمیع شده و یک ماتریس تصمیم فازی Z به‌دست می‌آید.

این پست به مرور کامل می شود و کلیه روش های فازی Z به شرح زیر توضیح داده خواهند شد:

روش Z-fuzzy ARAS

تکنیک ARAS یکی از روش‌های شناخته‌شده در حوزه تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM) است که برای ارزیابی و رتبه‌بندی گزینه‌ها بر اساس مجموعه‌ای از معیارها به کار می‌رود. در این روش، عملکرد هر گزینه نسبت به یک گزینه بهینه  سنجیده می‌شود و با استفاده از مقادیر نرمال‌سازی‌شده و وزن معیارها، میزان مطلوبیت نسبی گزینه‌ها محاسبه می‌گردد. سادگی محاسبات، امکان مقایسه مستقیم گزینه‌ها و قابلیت استفاده در مسائل واقعی از جمله مزایای اصلی روش ARAS است. با این حال، در بسیاری از مسائل واقعی تصمیم‌گیری، داده‌ها به صورت دقیق و قطعی در دسترس نیستند و تصمیم‌گیرندگان اغلب ارزیابی‌های خود را به شکل زبانی و همراه با عدم قطعیت بیان می‌کنند.

به منظور مدل‌سازی بهتر این نوع اطلاعات، نسخه‌های فازی روش ARAS توسعه یافته‌اند و در ادامه، ادغام این تکنیک با اعداد Z گام پیشرفته‌تری در مدیریت عدم قطعیت محسوب می‌شود. در روش Fuzzy ARAS مبتنی بر Z-number، علاوه بر در نظر گرفتن مقدار فازی ارزیابی‌ها، درجه اطمینان تصمیم‌گیرنده نسبت به آن ارزیابی نیز مدل‌سازی می‌شود. به عبارت دیگر، هر ارزیابی شامل دو بخش است: مقدار فازی مربوط به عملکرد گزینه نسبت به یک معیار و سطح اطمینان به آن ارزیابی. این ویژگی باعث می‌شود که اطلاعات انسانی که معمولا به صورت عباراتی مانند «تقریباً خوب با اطمینان زیاد» بیان می‌شوند، به شکل دقیق‌تری وارد فرآیند تصمیم‌گیری شوند. در نتیجه، استفاده از Fuzzy ARAS با اعداد Z می‌تواند دقت، واقع‌گرایی و قابلیت اعتماد نتایج رتبه‌بندی گزینه‌ها را در مسائل پیچیده تصمیم‌گیری چندمعیاره افزایش دهد.

 از طریق لینک زیر میتوانید فایل ارائه FUZZY ARAS Z Number را دانلود کنید. (جهت دانلود از مرورگر فایرفاکس یا نرم افزار IDM استفاده کنید).

دانلود فایل Fuzzy Z ARAS

ارائه دهنده: سرکار خانم بیرامی

روش های زیر نیز در محیط فازی Z قابل پیاده سازی هستند که به مرور تکمیل خواهند شد.

1- Z-fuzzy TOPSIS

2- Z-fuzzy BWM

3- Z-fuzzy DELPHI

4- Z-fuzzy MOORA

چنانچه نیازمند مشاوره و تحلیل پروژه خود با این روش هستید با ما تماس بگیرید/9181-885-933-98+